已知四棱锥pabcd的底面是直角梯形,AB//DC,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD ,且pa=ad=dc=1/2,ab=1,m是pb的中点
题目
已知四棱锥pabcd的底面是直角梯形,AB//DC,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD ,且pa=ad=dc=1/2,ab=1,m是pb的中点
(1)求证:平面PAD⊥平面PCD
(2)求AC与PB所成的角
(3)求面MAC与面BMC所成二面角大小的余弦值
要用向量方法解答,不要复制的.
答案
(Ⅰ)证明:∵PA⊥面ABCD,CD⊥AD,∴由三垂线定理得:CD⊥PD.
因而,CD与面PAD内两条相交直线AD,PD都垂直,∴CD⊥面PAD.又CD⊥面PCD,∴面PAD⊥面PCD.
过点B作BE∥CA,且BE=CA,则∠PBE是AC与PB所成的角. 连接AE,可知AC=CB=BE=AE=,又AB=2,
所以四边形ACBE为正方形.由PA⊥面ABCD,得∠PEB=90°
在Rt△PEB中,BE=a2=3b2,PB=,∴.∴AC与PB所成的角为.(Ⅲ)作AN⊥CM,垂足为N,连接BN.在Rt△PAB中,AM=MB,又AC=CB,∴△AMC≌△BMC,∴BN⊥CM,故∠ANB为所求二面角的平面角∵CB⊥AC,由三垂线定理,得CB⊥PC,在Rt△PCB中,CM=MB,所以CM=AM.在等腰三角形AMC中,AN·MC=,∴.∴AB=2,∴故所求的二面角为.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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