若不等式mx2+2（m+1）x+4+9m＜0的解集为R，求实数m的取值范围．

题目

若不等式mx²+2（m+1）x+4+9m＜0的解集为R，求实数m的取值范围．

答案

当m=0时，原不等式可转化为2x+4＜0，解集为x＜-2，不合题意；
当m≠0时，则

m＜0 △＜0

即

m＜0 4(m+1)2−4m(4+9m)＜0

解得   m＜−

1

2

故m的取值范围为(−∞ ， −

1

2

)．

先对二次项系数是否为零进行讨论，m≠0时由于不等式mx²+2（m+1）x+4+9m＜0的解集为R，二次函数应是开口向下且与x轴没有交点．

本题考点：一元二次不等式的解法．

考点点评：本题主要考查了抛物线与x轴的交点．函数的恒成立问题，体现了分类讨论和转化的数学思想，属于中档题．