请问lim（x趋近于无穷大）x^(1/x)为什么是等于1,如何计算出来的?

题目

请问lim（x趋近于无穷大）x^(1/x)为什么是等于1,如何计算出来的?
还有这是不是涉及到不穷大的比较啊?为什么书上只写了无穷小的比较呢?

答案

根据定义
lim(x→∞)x^(1/x)=[(x+dx)^(1/x+dx)-x^(1/x)]/dx
≈[(x+dx)^(1/x)-x^(1/x)]/dx
又∵(x+dx)^n≈x^n+nxdx
带入得
原式≈[x^(1/x)+dx-x^(1/x)]/dx=1
得证