做一个容积为256升的方底无盖水箱(底面是正方形),则它的高为_ 时,材料最省.

做一个容积为256升的方底无盖水箱(底面是正方形),则它的高为_ 时,材料最省.

题目
做一个容积为256升的方底无盖水箱(底面是正方形),则它的高为______ 时,材料最省.
答案
设此水箱的高为x,底面棱长为a,则a2x=256,
其表面积S=4ax+a2=4a×
256
a2
+a2=
1024
a
+a2
=
512
a
+
512
a
+a2
≥3
3
512
a
×
512
a
×a2
=3×26=192.
当且仅当a=8即h=
256
82
=4时,S取得最小值.
故答案为4.
设此水箱的高为x,底面棱长为a,则a2x=256,其表面积S=4ax+a2=4a×
256
a2
+a2=
1024
a
+a2
=
512
a
+
512
a
+a2
,利用均值不等式即可得出.

平均值不等式;基本不等式.

本题考查了正方体的体积与表面积、均值不等式,属于基础题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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