已知函数f(x)对任意实数x,y属于R,总有f(x+y)=f(x)+f(y)

题目

已知函数f(x)对任意实数x,y属于R,总有f(x+y)=f(x)+f(y)
已知函数f(x)对任意实数x,y∈R,总有f(x+y)=f(x)+f(y),且x＞0时,f(x)＜0,f(-1)=2
（1）求证：f（-x）=-f（x）
（2）求证：f（x）为减函数
（3）求函数f（x）在区间【-3,3】上的最大值和最小值.

答案

（1）令x=y=0,则f(0)=0；令y=-x,则f(-x)=-f(x).
（2）设x1>x2>0,则x1-x2>0,f(x1-x2)<0即f(x1)+f(-x2)<0,亦即f(x1)0上递减,再由奇函数的性质以及f(x)为奇函数可知,
f(x)为减函数.
（3）始终记住奇函数图形关于原点对称.由递减性,最大值和最小值分别为:
f(-3),f(3).且f(3)=f(2)+f(1)=3f(1)=-3f(-1)=-6,f(-3)=-f(3)=6
所以,最大值、最小值分别为6和-6