若m、n都是正实数,方程x2+mx+2n=0和方程x2+2nx+m=0都有实数根,则m+n的最小值是(  ) A.4 B.6 C.8 D.10

若m、n都是正实数,方程x2+mx+2n=0和方程x2+2nx+m=0都有实数根,则m+n的最小值是(  ) A.4 B.6 C.8 D.10

题目
若m、n都是正实数,方程x2+mx+2n=0和方程x2+2nx+m=0都有实数根,则m+n的最小值是(  )
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
答案
∵方程都有实根,
m2−8n≥0
4n2−4m≥0

∴m2≥8n,n2≥m.
∵m、n都是正实数,
因此有m4≥64n2≥64m,
∴m(m3-64)≥0,因m>0,则m3≥64,m≥4,所以m最小值是4;
又n2≥m,n2≥4得n≥2,即n的最小值为2,
故m+n的最小值为6.
故选B.
由方程x2+mx+2n=0和方程x2+2nx+m=0都有实数根,则有m2-8n≥0,即m2≥8n;4n2-4m≥0,即n2≥m.通过不等式变形得:m4≥64n2≥64m,得m最小值是4;则n2≥m,得n≥2即n的最小值为2,由此得到m+n的最小值.

根的判别式.

本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)根的判别式△=b2-4ac.当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.同时考查了式子的变形能力和不等式的解法.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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