在正三棱锥S-ABC中,侧面SAB、侧面SAC、侧面SBC两两垂直,且侧棱SA=23,则正三棱 S-ABC外接球的表面积为(  ) A.12π B.32π C.36π D.48π

在正三棱锥S-ABC中,侧面SAB、侧面SAC、侧面SBC两两垂直,且侧棱SA=23,则正三棱 S-ABC外接球的表面积为(  ) A.12π B.32π C.36π D.48π

题目
在正三棱锥S-ABC中,侧面SAB、侧面SAC、侧面SBC两两垂直,且侧棱SA=2
3
,则正三棱 S-ABC外接球的表面积为(  )
A. 12π
B. 32π
C. 36π
D. 48π
答案
在正三棱锥S-ABC中,侧面SAB、侧面SAC、侧面SBC两两垂直,
所以正三棱锥S-ABC的三条侧棱两两互相垂直,且SA=2
3

正三棱锥S-ABC的外接球即为棱长为2
3
的正方体的外接球.
则外接球的直径2R=2
3
3
=6,所以外接球的半径为:3.
故正三棱锥S-ABC的外接球的表面积S=4•πR2=36π.
故选C.
正三棱锥S-ABC的三个侧面两两垂直,转化为三条侧棱两两互相垂直,该三棱锥的各个顶点均为棱长为2
3
的正方体的顶点,通过正方体的对角线的长度,求出外接球半径,即可求解球的表面积.

球内接多面体;棱锥的结构特征;球的体积和表面积.

本题考查的知识点是球内接多面体,球的表面积,其中根据已知结合正方体的几何特征,得到该正三棱锥是正方体的一部分,并将问题转化为求正方体外接球表面积,是解答本题的关键.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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