设抛物线C:y2=4x,F为C的焦点,过F的直线L与C相交于A、B两点.(1)设L的斜率为1,求|AB|的大小;(2)求证:OA•OB是一个定值.
题目
设抛物线C:y
2=4x,F为C的焦点,过F的直线L与C相交于A、B两点.
(1)设L的斜率为1,求|AB|的大小;
(2)求证:
•是一个定值.
答案
(1) ∵直线L的斜率为1且过点F(1,0),∴直线L的方程为y=x-1,
设A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),联立
消去y得x
2-6x+1=0,△>0,
∴x
1+x
2=6,x
1x
2=1.
∴|AB|=x
1+x
2+p=8.
(2)证明:设直线L的方程为x=ky+1,联立
消去x得y
2-4ky-4=0.△>0,
∴y
1+y
2=4k,y
1y
2=-4,
设A=(x
1,y
1),B=(x
2,y
2),则
=(x1,y1),
=(x2,y2).
∴
•=x
1x
2+y
1y
2=(ky
1+1)(ky
2+1)+y
1y
2=k
2y
1y
2+k(y
1+y
2)+1+y
1y
2=-4k
2+4k
2+1-4=-3.
∴
•=-3是一个定值.
(1)把直线的方程与抛物线的方程联立,利用根与系数的关系及抛物线的定义、弦长公式即可得出;
(2)把直线的方程与抛物线的方程联立,利用根与系数的关系、向量的数量积即可得出;
直线与圆锥曲线的综合问题.
熟练掌握直线与抛物线的相交问题的解题模式、根与系数的关系及抛物线的定义、弦长公式、向量的数量积是解题的关键.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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