如图RT△ABC中,∠ACB=90°,D为AB中点DE,DF分别交AC于E,交BC于F,且DE⊥DF,CA＜CB.

题目

如图RT△ABC中,∠ACB=90°,D为AB中点DE,DF分别交AC于E,交BC于F,且DE⊥DF,CA＜CB.
求证AE²+BF²=EF²

答案

证明：延长FD取点G,使DG＝DF
∵D为AB的中点
∴AD＝BD
∵DE＝DF,∠ADG＝∠BDF
∴△ADG全等于△BDF （SAS）
∴AG＝BF,∠GAD＝∠B
∵∠ACB＝90
∴∠CAB+∠B＝90
∴∠CAB+∠GAD＝90
∴∠CAG＝90
∴AE²+AG²=EG²
∴AE²+BF²=EG²
∵DE⊥DF,DF＝DG
∴DE垂直平分FG
∴EF＝EG
∴AE²+BF²=EF²