实数数列{an}相邻两项an,an+1是方程x^2-Bn+(1/3)^n=0的两根,且a1=2 1)证明an+2/an为定值2）求{an}的通项

题目

实数数列{an}相邻两项an,an+1是方程x^2-Bn+(1/3)^n=0的两根,且a1=2 1)证明an+2/an为定值2）求{an}的通项
3）求B1+B2+B3+……+Bn+……无穷项之和

答案

（1）由韦达定理可得：
a(n)a(n+1)=(1/3)^n
a(n+1)a(n+2)=(1/3)^(n+1)
下式÷上式得：
a(n+2)/a(n)=1/3=定值；
（2）取n=1,则a(1)a(2)=1/3,a(2)=1/6,
所以,可得：
a(2n-1)=2×(1/3)^(n-1),
a(2n)=(1/6)×(1/3)^(n-1)；
（3）B(n)=a(n)+a(n+1)
当n=2k,则
B(2k)=(1/6)×(1/3)^(k-1)+2×(1/3)^k
=(5/6)×(1/3)^(k-1)；
当n=2k-1,则
B(2k-1)=2×(1/3)^(k-1)+(1/6)×(1/3)^(k-1)
=(13/6)×(1/3)^(k-1)；
所以
S=13/6+5/6+(13/6)×(1/3)+(5/6)×(1/3)+(13/6)×(1/3)^2+(5/6)×(1/3)^2+…+(13/6)×(1/3)^(k-1)+(5/6)×(1/3)^(k-1)+…
=(13/6+5/6)/(1-1/3)
=3÷(2/3)
=9/2
(第三不是很肯定.,请检验）