limx->0 [(a+x)^x-a^x]/x^2 (a>0)

题目

limx->0 [(a+x)^x-a^x]/x^2 (a>0)
RT,本章学的是洛比达法则.答案是1/a 我算的是1/2a

答案

比较复杂
利用L'Hospital法则上下各求两次导
下面球两次导就是2
然后看上面
(a+x)^x-a^x
为了看得清楚,我们分别对(a+x)^x和a^x求两次导
其中(a^x)''=[(a^x)lna]'=(a^x)(lna)^2=(a^x)ln(2a),代入x=0为ln(2a)
(a+x)^x=e^(xln(a+x))
所以[(a+x)^x]'=e^(xln(a+x)) * (ln(a+x)+x/(a+x))
[(a+x)^x]''
=(e^(xln(a+x))'(ln(a+x)+x/(a+x))+(ln(a+x)+x/(a+x))‘e^(xln(a+x))
=e^(xln(a+x))(ln(a+x)+x/(a+x))(ln(a+x)+x/(a+x)) + e^(xln(a+x))(1/(a+x)+(a+x-x)/(a+x)^2)
代入x=0
=e^0 * lna *lna +e^0(1/a+1/a)
=ln(2a)+2/a
所以上半部份球两次导是ln(2a)+2/a -ln(2a)=2/a
所以原式=(2/a) / 2 =1/a