高中几何向量运算公式

题目

高中几何向量运算公式
关于角度的 求和 球距离的

答案

用向量方法求空间角和距离
空间角和距离是最基本的两个几何量,空间图形中各元素的位置关系都可以用这两个几何量来定量地描述,因此,有关空间角和距离的计算,是立体几何的一类重要问题,是历年来高考考查的重点,本文运用向量方法简捷地解决这些方法.
一． 求空间角问题
1． 求异面直线的夹角
设 分别为异面直线 的方向向量,则由向量的数量积可知,异面直线 的夹角由 得出.
【例1】 在三棱锥 中, ,
① 证明：
② 求异面直线 .（2002年高考题）
解析： ① 由题意得：
故：
③ 由

【例2】 如图,在正方体 中, 的中点, 分别是面 , 的中心,求异面直线
解析： 建立如图所示的空间直角坐标系 ,取正方体的棱长为2,
则
由
故 ,即
2． 求二面角
如图,设 是二面角 的两个半平面的一个法向量,其方向一个指向内侧,另一个指向外侧,法向量 的夹角为 ,就是二面角 的平面角： 据此,只要求得二面角两个半平面的异侧法向量,即可得到二面角的平面角.要注意调整好向量的方向,使其夹角为二面角的平面角.
【例3】 如图,四棱锥 的底面是边长为 的正方形,
,证明无论四棱锥的高怎样变化,面
与面 所成的二面角恒大于 .
解析：建立如图所示的空间直角坐标系 ,设 ,依题意有：
,设 是面 的一个法
向量,则 即 令
得 ,设 是面 的一个法向量,则 即
令 ,得 ,由 得 即无论四棱锥的高怎样变化,面 与面 所成的二面角 恒大于 .
【例4】 如图,在底面是直角梯形的四棱锥 中, , 求面 .
解析：建立如图所示的空间直角坐标系 ,则 ,
,设 是面 的一个法向量,则
即 令 得 ,
又知 是面 的一个法向量,
所以 .
【例5】 在四棱锥 中,底面 是矩形, ,且
平面 能否垂直?说明之.
解析：由 ,得
设平面 的法向量 ,则
即 ,所以
又 ,即 ,所以：
所以： 所以 所以：
,设平面 的法向量为： ,则
,同理得： ,所以 ,
故平面 不可能垂直.
【例6】 如图,底面是等腰直角三角形的直三棱柱 , , 为 上的点,且 ,求二面角 的大小.
解析：建立如图所示的空间直角坐标系 ,设 则：
,设 为平面 的一个
法向量,则 即 令 得 ,易知平面 的一个法向量为 ,所以 ,由图可知：二面角
为： .
【点拔】 二面角问题通过法向量的引入,使复杂的添加辅助线不必进行,解题一下子变得轻松易懂.
3．求线面角
如图,设 是平面 的斜线, 是 的一个法向量, 是垂足,则向量 上的射影长为：
, 与平面 的夹角 满足： 即
或： ,据此,只须求得平面 的一个法向量 及向量 或 ,即可求
得斜线 与平面 的夹角 .
【例7】如图,正三棱柱 的底面边长为 ,侧棱长为 ,求 与侧面 所成的角.
解析：建立如图所示的空间直角坐标系 ,则
,取 的中点 ,连结 ,由
得 ,故 .由
得： ,故：
所成角为 .
【例8】 如图,在直三棱柱 中, , 求 与
侧面 所成角的正弦值.
解析：建立如图所示的空间直角坐标系 ,设
则 由 得：
,故: .
设 是面 的一个法向量,则 即 令 得 又 所以 与面 所成角 的正弦为：

二． 求空间距离问题
1． 求点线距离
如图,求得向量 在向量 上的射影长为 ,则点 到直线 的距离为 .
【例9】 设 为矩形 所在平面外的一点,直线 求点 到直线 的距离.
解析：如图,因为 ,
所以 上的射影长为 故 到直线 的距离为：

2． 求点面距离
如图所示,设 则 外一点 到平面 的距离,就是向量
上的射影长度,即 到平面 的距离为： ,据此,只须求得平面 的一个法向量 与向量 ,即可得点 到 的距离.

【例10】 已知 为平面 的一条斜线, 为平面 的一个法
向量,求证： 到平面 的距离为： .
证明：因为 ,所以 到平面 的距离为：

【例11】 如图,在棱长为 的正方体 中, 分别是 的中点,求点 到截面 的距离.
解析：建立如图所示的空间直角坐标系 ,则 ,
, ,设 为面 的一个
法向量,则 即 令 得 ,又 ,所以点
到截面 的距离为
【点拔】 对于线面距离、面面距离、可能通过转化为点面距离来求解,所以点面距离的向量求法可以加以推广,进会合理运用.
【例12】 如图,已知 是边长为 的正方形, 分别为 的中点, 垂直于 所在平面 ,且 ,求：点 到平面 的距离.
解析：建立如图所示的空间直角坐标系 ,则
,设 是平面
的一个法向量, 即 令 得
所以向量 在 上的射影长为
3． 求异面直线距离
【例13】 已知异面直线 , 的公垂线段, 分别为 上的任意一点, 为 的一个方向向量,求证：
解析：因为 ,所以

由 ,得 所以： 故：
所以：
【例14】 如图,在正方体 中,棱长为 为 的中点,求异面直线 的距离.
解析： 建立如图所示的空间直角坐标系 ,则
,设 为 公垂线上一个方向向量,
即 令 得
又 ,所以异面直线 的距离 .
【点拔】 在上面的解法中,我们避免了繁锁的辅助线,而代之以简单的坐标运算,降低了思维难度,简单易解.
【例15】 在四棱锥 中,底面是边长为 的正方形,侧棱
分别为棱 的中点,求异面直线
解析： 建立如图所示的空间直角坐标系 ,则
,设 为 的公垂
线的一个方向向量,则 即 令 得 ,故：
异面直线 .
【总结】 通过上面的一些例子,我们可以看到向量在解决空间角和距离方面的作用,当然,以上所举的一些例子,用传统方法去做,也是可行的,甚至有的还较为简单,用向量的好处在于克服传统立几以纯几何方式解决问题带来的高度的技巧性和随机性,为解决空间问题指出一条新的路子.