如图，⊙O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2，过点C作⊙O的切线l，过点B作l的垂线BD，垂足为D，BD与⊙O交于点E． 求证：四边形OBEC是菱形．

题目

如图，⊙O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2，过点C作⊙O的切线l，过点B作l的垂线BD，垂足为D，BD与⊙O交于点E．
求证：四边形OBEC是菱形．

答案

证明：在△AOC中，AC=2，
∵AO=OC=2，
∴△AOC是等边三角形．
∴∠AOC=60°，
∴∠AEC=30°；
而DC为⊙O的切线，
∴OC⊥l，
而BD⊥l，
∴OC∥BD，
∴∠ABD=∠AOC=60°，
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠EAB=30°，
∴∠EAB=∠AEC．
∴AB∥CE．
∴四边形OBEC为平行四边形．
又∵OB=OC=2．
∴四边形OBEC是菱形．