定义在R上的函数y=f(x),f(0)不等于0,当x>0时,f(x)>1,且对任意的a,b都有f(a+b)=f(a)*f(b) (1)求证f(0)=1

题目

定义在R上的函数y=f(x),f(0)不等于0,当x>0时,f(x)>1,且对任意的a,b都有f(a+b)=f(a)*f(b) (1)求证f(0)=1
定义在R上的函数y=f(x),f(0)不等于0,当x>0时,f(x)>1,且对任意的a,b都有f(a+b)=f(a)*f(b)
(1)求证f(0)=1 (2)求证对任意的x属于R 恒有f(x)>0 (3)求证f(x)是R上的增函数 4）若f(x)*f(2x-x2 )>1 求x的取值范围

答案

1.因为f(a+b)=f(a)f(b),令式中a=b=0得：f(0)=f(0)*f(0),因f(0)不等于0,所以等式两同时消去f(0),得：f(0)=1.
2.令f(a+b)=f(a)f(b)中a=b=x/2,于是f(x)=f(0.5x)*f(0.5x)＝（f(0.5x)）^2>=0.因为当式中a＝x,b＝-x,得：f(0)=f(x)*f(-x),因为f(0)不等于0,所以对于任意的f(x)和f(-x)都有f(x)不等于0,所以f（x)>0.
3.设x1>x2,因为对任意的x属于R,恒有f(x)>0,所以f(x1)/f(x2)=f(x1+x2-x2)/f(x2)=(f(x1-x2)*f(x2))/f(x2),分子分母同时约去f(x2）,得：f(x1)/f(x2)=f(x1-x2),因为x1>x2,所以x1-x2>0,所以f(x1-x2)>1,所以f(x1)/f(x2)>1,所以f(x1)>f(x2),所以f(x)是R上的增函数.
4.f(x)*f(2x-x平方）＝f（3x-x^2）>1,因为x>0时,f(x)>1,f(x)又为R上的增函数,所以,只有当3x-x^2>0时,才会有f(x)*f(2x-x平方）>1,此时,0