设抛物线Y^2=4X截直线Y=2X+M所得的弦AB长为三倍根号五

题目

设抛物线Y^2=4X截直线Y=2X+M所得的弦AB长为三倍根号五

答案

设A（x1,y1）,B（x2,y2）,则y1=2x1+m,y2=2x2+m,且A,B,的横坐标为方程（2x+m）平方=4x的两个根,即x1,x2为方程4x平方+4（m-1）+m平方=0的两个根,所以x1+x2=1-m,x1*x2=m平方/4,AB平方=（x2-x1）平方+（y2-y1）平方=（x2-x1）平方+（2x2+m-2x1-m）平方=5*（x2-x1）平方=5*[（x2+x1）平方-4x1x2]=5*[（1-m）平方-m平方]=45,求出m=-4
所以直线方程为2x-y-4=0,因为AB长为三倍根号五,三角形的面积为39,所以P到AB的距离为26倍根号5除以5,设P的坐标为（x0,y0）,由点到直线的距离公式得：（2x0-y0-4）绝对值除以根号（2的平方+（-1）平方）的算数平方根=26倍根号5除以5,所以绝对值（2x0-y0-4）=26,因为点P在轴上,当x0=0时,y0=22或-30,当y0=0时,x0=15或-11,所以点P的坐标为（15,0）,（-11,0）,（0,22）或（0,-30）