如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为直角梯形，CB∥OA，∠OCB=90°，CB=1，AB=5，直线y＝−1/2x+1过A点，且与y轴交于D点 （1）求点A、点B的坐标； （2）试说明：AD⊥BO

题目

如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为直角梯形，CB∥OA，∠OCB=90°，CB=1，AB=

5

，直线y＝−

1

2

x+1过A点，且与y轴交于D点

（1）求点A、点B的坐标；
（2）试说明：AD⊥BO；
（3）若点M是直线AD上的一个动点，在x轴上是否存在另一个点N，使以O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

（1）当y=0时，-12x+1=0，解得x=2，∴点A的坐标是（2，0），过点B作BF⊥AO于F，则四边形BCOF是矩形，∴OF=BC=1，∴AF=2-1=1，∵AB=5，∴在Rt△ABF中，BF=AB2-AF2=52-12=2，∴点B的坐标为（1，2）；（2）当x=0时，y=-...

（1）根据直线解析式，令y=0求出x的值，即可得到点A的坐标，过点B作BF⊥AO于F，可得四边形BCOF是矩形，根据矩形的对边相等得到OF=BC=1，从而求出AF的长度，再根据勾股定理求出BF的长度，点B的坐标即可得到；
（2）根据直线的解析式求出点D的坐标，得到CD=1，根据矩形的对边相等，OC=2，然后利用边角边证明△AOD与△OCB全等，根据全等三角形对应角相等可得∠OAD=∠COB，根据∠COB+∠AOB=90°可得∠OAD+∠AOB=90°，从而得到∠AEO=90°，得证；
（3）根据平行四边形的对边平行且相等可得BM∥AN且BM=AN，令y=2求出点M的坐标，从而得到BM的长度，再分点N在点O的左边与右边、点N关于A的对称点三种情况讨论求出点N的坐标．

本题考点：一次函数综合题；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定；直角梯形．

考点点评：本题是对一次函数的综合考查，主要有坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，平行四边形的性质，综合性较强，但难度不大，只有仔细分析题目，理清数量关系便不难解决．