已知椭圆C:x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√3/2,双曲线x^2-y^2=1的渐近线方程与C有四个交点,

题目

已知椭圆C:x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√3/2,双曲线x^2-y^2=1的渐近线方程与C有四个交点,
以这四个点为顶点的四边形面积为16,求椭圆C的方程

答案

分析：由题意,双曲线x-y=1的渐近线方程为y=±x,根据以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,可得（2,2）在椭圆C：x/a+y/b=1．利用e=√3/2,即可求得椭圆方程． 由题意,双曲线x-y=1的渐近线方程为y=±x ∵以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,故边长为4,∴（2,2）在椭圆C：x/a+y/b=1（a＞b＞0）上 ∴4/a+4/b=1 ∵e=√3/2 ∴﹙a-b﹚/a=3/4 ∴a=4b ∴a=20,b=5 ∴椭圆方程为：x/20+y/5=1 故选D． 点评：本题考查双曲线的性质,考查椭圆的标准方程与性质,正确运用双曲线的性质是关键．