若一个函数满足f(x)f(y)=f(x+y),则它一定是指数函数嘛?

题目

若一个函数满足f(x)f(y)=f(x+y),则它一定是指数函数嘛?
除了常值函数

答案

可以证明（柯西法）
（1）先证明x为整数的情况,设x=n（正整数),则f(n)=f^n(1)
令f(1)=a,则f(n)=a^n
令x=0,则f(0)=f(0)^2,故f(0)=0或1
显然f(0)不为0,否则f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)=0为常数函数
又f(0)=f(n-n)=f(n)f(-n)=1,f(-n)=1/f(n)=a^(-n)
（2）证明有理数情形
设x=m/n(m,n为整数,n非0),则f(m)=f(m/n*n)=f(m/n)^n=a^m
f(m/n)=a^(m/n)
(3)证明实数情形
当y趋于0时,limf(x+y)=limf(x)f(y)=f(x)*limf(y)=f(x)*f(0)=f(x)*1=f(x)
注意f(x)在点x=0处连续lim(x趋于0）f(x)=a^0=1
所以f(x)为R上的连续函数,因此有f(x)=a^x(x属于任何实数）
注：从群论看,f(x)f(y)=f(x+y)说明y=f(x)与普通加法群同态,做映射f(x)=a^x,则指数函数恰好跟加法群同态.