已知f(x)=2sin(2x-π/3).若函数y=f(2x)-a,在区间[0,π/4]上恰有两个零点x1,x2,求tan(x1+x2)的值.

题目

已知f(x)=2sin(2x-π/3).若函数y=f(2x)-a,在区间[0,π/4]上恰有两个零点x1,x2,求tan(x1+x2)的值.

答案

由已知
2sin(4x1-π/3)-a=2sin(4x2-π/3)-a=0
也就是
sin(4x1-π/3)=sin(4x2-π/3)=a/2
所以说
（4x1-π/3）+（4x2-π/3）=kπ(k是整数)
或者
（4x1-π/3）-（4x2-π/3）=2kπ
由x1和x2的范围[0,π/4],所以x1+x2的范围就是[0,π/2],x1-x2的范围就是[-π/4,π/4]
情况1,
可以解得(x1+x2)=(kπ-2/3π)/4
当k=1时,x1+x2=π/12,
k=2时,x1+x2=π/3.
k取其他值时x1+x2都不在[0,π/2]了,所以不考虑
情况2,
x1-x2=kπ/2
k=0时,x1=x2不满足题意
k取其他值时x1-x2都不在[-π/4,π/4]了,所以不考虑
因此tan(x1+x2)=tan15度=2-√3
或tan(x1+x2)=tan60度=√3