求过点A(2,-1)和直线x-y-1=0相切且圆心在直线y=-2x上的圆的方程

题目

求过点A(2,-1)和直线x-y-1=0相切且圆心在直线y=-2x上的圆的方程

答案

圆心在直线y=-2x上,所以可设圆心为（a,-2a）
设圆方程为（x-a）^2+(y+2a)^2=r^2
圆过点A(2,-1),所以（2-a）^2+(-1+2a)^2=r^2
化简得5a^2-8a+5=r^2 （方程一）
圆与直线x-y-1=0相切
所以圆心（a,-2a）到直线x-y-1=0的距离为r
r=(3a-1)/√2 代入 方程一
得a^2-10a+9=0
解得a=1或3 所以r=√2或4√2
所以圆方程为（x-1）^2+(y+2)^2=2
或者（x-3）^2+(y+6)^2=32