椭圆4x^2+9y^2=36上的点到直线2x-y+10=0的最大距离是多少?

题目

椭圆4x^2+9y^2=36上的点到直线2x-y+10=0的最大距离是多少?

答案

平行于直线与椭圆相切的直线方程设为2x-y+2b=0,即y=2(x+b)
带入椭圆方程,得10x²+18bx+9(b²-1)=0,由Δ=(18b)²-360(b²-1)=0解得
b10,画图可知,直线在椭圆上方,所以椭圆在切线2x-y-2√10=0的切点处取得到直线2x-y+10=0最大距离d,d也就是直线2x-y+10=0与切线2x-y-=0之间的距离,即d=|10+2√10|/√(2²+(-1)²)=2√5+2√2