关于向量的数学题

题目

关于向量的数学题
设点A（2,0),B(4,2),若点P在直线AB上,且向量AB的模=2倍向量AP的模,求P点的坐标.
我有答案是（3，1）和（1，-1），就是不知道怎么得到的......

答案

∵点P在直线AB上,且向量AB的模=2倍向量AP的模,
∴向量AB=2向量AP 或向量AB=-2向量AP
（1）当向量AB=2向量AP时,向量AP+向量PB=2向量AP
∴向量AP=向量PB
∴点P是线段AB的中点,又A（2,0),B(4,2)
∴由中点坐标公式得,点P的坐标为（3,1）
（2）当向量AB=-2向量AP时,向量AP+向量PB=-2向量AP
3向量AP=-向量PB
∴向量AP=（-1/3）向量PB
∴点P分向量AB所成的比为（-1/3）,设P（x,y)
又A（2,0),B(4,2)
∴由线段的定比分点公式,得
x=[2+（-1/3）×4]/（1-1/3）=1
y=[0+（-1/3）×2]/（1-1/3）=-1
∴点P的坐标为（1,-1）
综上,所求点P的坐标为（3,1）或（1,-1）