函数y=x²+(m+1)x+m的两个不同的零点是x1和x2,且x1,x2的倒数平方和为2,求m.

题目

函数y=x²+(m+1)x+m的两个不同的零点是x1和x2,且x1,x2的倒数平方和为2,求m.

答案

根据韦达定理有
x1 + x2 = - (m+1)
x1 * x2 = m
另
( 1/x1)^2 + (1/x2)^2 = 2
将韦达定理的结果带入有
( 1/x1)^2 + (1/x2)^2 = （x1^2+x2^2)/(X1^2*x2^2)
= [{x1+x2)^2-2x1x2]/(X1^2*x2^2)
=(m^2+1)/m^2
则有 (m^2+1)/m^2 = 2
推出 m =1或-1
又由于已知两个零点不同,所以 x1不等于 x2,
也就是判别式 = (m-1)^2 > 0
综上,m = -1