老师您好,我想问一下证明设A是正定矩阵,则A+A逆也是正定矩阵

题目

老师您好,我想问一下证明设A是正定矩阵,则A+A逆也是正定矩阵

答案

先证A^(-1)正定；
A正定,则A合同于E,
所以,存在C可逆,C^TAC=E;
则两边取逆,C^(-1){A^(-1)}C^(-1)^T=E;
所以,A^(-1)合同于E；
所以A^(-1)正定；
由于A,A^(-1)正定；
所以,任意X,X^TAX>0;
X^TA^(-1)X>0;
所以X^T(A+A^(-1))X=X^TAX+X^TA^(-1)X>0;
所以(A+A^(-1))正定.