怎么证明矩阵A的伴随的秩为一(当r(A)=n–1时)

题目

怎么证明矩阵A的伴随的秩为一(当r(A)=n–1时)

答案

首先由r(A) = n-1,存在n-1阶非零子式,所以A* ≠ 0,r(A*) ≥ 1.
其次由A不可逆,A·A* = |A|·E = 0.有r(A)+r(A*)-n ≤ r(A·A*) = 0,即有r(A*) ≤ n-r(A) = 1.
综合得r(A*) = 1.