高数 “要造一圆柱形油桶,体积为V,问底半径r和高h各等于多少时,才能使底面积最小”

题目

高数 “要造一圆柱形油桶,体积为V,问底半径r和高h各等于多少时,才能使底面积最小”

答案

v=πr²h
∴h＝v/πr²
表面积s＝2πr²＋2πr×v/πr²＝2πr²＋2v/r
s'=4πr－2v/r²
令s‘＝0 即4πr－2v/r²＝0
解得r＝³√〔v/(2π）〕
这时h＝v/{³√〔v/(2π）〕}²＝³√（4π²v）
即当r＝³√〔v/(2π）〕,h＝³√（4π²v）