已知函数f(x)=x3+6x2+15|x| (1)求f(x)在x=1处的切线方程. (2)求f(x)在[-1,a]上的最小值.

已知函数f(x)=x3+6x2+15|x| (1)求f(x)在x=1处的切线方程. (2)求f(x)在[-1,a]上的最小值.

题目
已知函数f(x)=x3+6x2+15|x|
(1)求f(x)在x=1处的切线方程.
(2)求f(x)在[-1,a]上的最小值.
答案
(1)x>0时,f(x)=x3+6x2+15x,f(1)=22
∴f'(x)=3x2+12x+15,f'(1)=30
∴f(x)在x=1处的切线方程为y=30(x-1)+22即y=30x-8.( 7分)
(2)f(x)=
x3+6x2+15x   x≥0
x3+6x2−15x    x<0
,f'(x)=
3x2+12x+15   x≥0
3x2+12x−15    x<0

令f'(x)=0,x=-5,函数单调性变化情况如下表
x (-∞,-5) -5 (-5,0) 0 (0,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 极大值 极小值
由表知当-1<a≤0,f(x)min=f(a)=a3+6a2+15a;
当a>0,f(x)min=f(0)=0.                ( 15分)
(1)先去绝对值,然后求出切点坐标,求在x=1处的导数值得到切线的斜率,最后根据点斜式直线方程可求出所求;
(2)先将函数写出分段函数,然后求出导函数,令f'(x)=0得x=-5,-5与0将区间分成三段,研究导数符号,得到函数的单调性,从而求出函数在[-1,a]上的最小值.

利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数求闭区间上函数的最值.

本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,以及利用导数求闭区间上函数的最值,同时考查了分类讨论的数学思想,属于中档题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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