已知三角形ABC的外接圆的圆心为O,若向量3OA+4OB+5OC=0,则角C

题目

已知三角形ABC的外接圆的圆心为O,若向量3OA+4OB+5OC=0,则角C

答案

因为三角形ABC外接圆心为O,且3OA+4OB+5OC=0 (OA,OB,OC,0均为向量）则
｜OA｜＝｜OB｜＝｜OC｜
OC＝-(3OA+4OB)/5
OC与OC点积＝|OC|^2
=(3OA+4OB)^2/25
=9|OA|^2/25+24(OA点积OB)/25+16|OB|^2/25
=|OC|^2+24(OA点积OB)/25
於是
OA点积OB=0,
再用OA与OB点积=0=｜OA｜｜OB｜coso
coso=0
∠AOB=90°
外接圆中,OA=OB,∴可证o为AC中点,∠B为90°,∴∠C=45°