已知ABC是锐角三角形ABC的三个内角,A,B,C的对边分别为a,b,c

题目

已知ABC是锐角三角形ABC的三个内角,A,B,C的对边分别为a,b,c
已知A,B,C是锐角三角形ABC的三个内角,A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos(A-C)-cos(A+C)=3/2,且b的2次方=ac,求角B的值,若B=根号3,求三角形ABC的周长

答案

答：
（1）
cos(A-C)-cos(A+C)=3/2
2sinAsinC=3/2
sinAsinC=3/4
因为：b^2=ac,所以：a/b=b/c
根据正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC
所以：a/b=sinA/sinB=b/c=sinB/sinC
(sinB)^2=sinAsinC=3/4
sinB=√3/2
B=60°或者B=120°（不符合锐角三角形需舍去）
因为三角形ABC是锐角三角形,所以B=60°
（2）
sinAsinC
=sinAsin(180°-60°-A）
=sinA（sin120°cosA-cos120°sinA）
=√3sinAcosA/2+sinAsinA/2=3/4
所以：√3sin2A-cos2A=2
结合：(sin2A)^2+(cos2A)^2=1解得：
sin2A=√3/2,cos2A=-1/2
2A=120°,A=60°
结合（1）知道：A=B=C=60°
所以a=b=c=√3
周长为3√3