过椭圆x2a2+y2b2=1的左焦点作直线交椭圆于A、B两点,若存在直线使坐标原点O恰好在以AB为直径的圆上,则椭圆的离心率取值范围是( ) A.(0,32] B.[32,1) C.(0,5−12]
题目
过椭圆
+=1的左焦点作直线交椭圆于A、B两点,若存在直线使坐标原点O恰好在以AB为直径的圆上,则椭圆的离心率取值范围是( )
A.
(0,]B.
[,1)C.
(0,]D.
[,1)
答案
设l:x=-c+my代入椭圆方程得:
+
=1,
整理得:(b
2m
2+a
2)y
2-2mcb
2y-b
4=0,
设A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),则y
1,y
2为上述方程的两个根,
∴y
1+y
2=
,y
1y
2=-
,①
∵OA⊥OB,
∴(-c+my
1)(-c+my
2)+y
1y
2=0.
∴c
2-mc(y
1+y
2)+(m
2+1)y
1y
2=0,将①代入,整理得:
a
2c
2-(c
2b
2+b
4)m
2-b
4=0,
∴(c
2b
2+b
4)m
2=a
2c
2-b
4≥0,
∴a
2c
2≥(a
2-c
2)
2,又e=
,
∴e
4-3e
2+1≤0,
∴
≤e
2≤
,而0<e<1,
∴
≤e
2<1,
∴
≤e<1.
故选D.
设l:x=-c+my代入椭圆方程,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1,y2为整理后的方程的两个根,利用韦达定理结合OA⊥OB,可得到a,b,c之间的关系式,从而可求得椭圆的离心率取值范围.
椭圆的简单性质.
本题考查椭圆的性质,考查直线与椭圆的位置关系,突出考查韦达定理的作用,考查垂直关系的应用,考查抽象思维与综合运算能力,属于难题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
最新试题
- You must try your best () the work next week.
- 谁能给我在游轮上常用的英语短语或句子?急
- 找一首女生唱的英文歌,很轻快,只记得歌词里有”I don`t care,I don`t care"
- 单摆周期有关计算
- 已知A+B=380,如果A扩大3倍,则积是( );如果B缩小2分之1,则积是( )
- 找出不同类词语
- 关于一道物理题:一质点由静止开始做匀加速直线运动,它在第10s内的位移为19m,则加速度大小为?
- 如果多项式3x的m次方-(n-1)x+1是关于x的二次二项式,试求m,n的值
- 科学的简单的填空题求答
- 已知a,b,c满足(a+b)(b+c)(c+a)=0且abc
热门考点