对于x∈R,不等式|2-x|+|1+x|≥a2-2a恒成立,则实数a的取值范围是_.

对于x∈R,不等式|2-x|+|1+x|≥a2-2a恒成立,则实数a的取值范围是_.

题目
对于x∈R,不等式|2-x|+|1+x|≥a2-2a恒成立,则实数a的取值范围是______.
答案
∵对于x∈R,不等式|2-x|+|1+x|≥a2-2a恒成立,∴|2-x|+|1+x|的最小值大于或等于a2-2a.
由于|2-x|+|1+x|表示数轴上的x对应点到2和-1对应点的距离之和,它的最小值为3,
故有 3≥a2-2a,即 a2-2a-3≤0,解得-1≤a≤3,
故实数a的取值范围是
−1,3

故答案为
−1,3
由题意可得|2-x|+|1+x|的最小值大于或等于a2-2a,而由绝对值的意义可得|2-x|+|1+x|的最小值为3,可得
3≥a2-2a,由此求得实数a的取值范围.

绝对值不等式的解法.

本题主要考查绝对值的意义,绝对值不等式、分式不等式的解法,体现了转化的数学思想,属于中档题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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