如图,在同一平面内将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起,A为公共顶点,∠BAC=∠AFG=90°,它们的斜边长为2,若△ABC固定不动,△AFG绕点A旋转,AF、AG与边BC的交点分别为

如图,在同一平面内将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起,A为公共顶点,∠BAC=∠AFG=90°,它们的斜边长为2,若△ABC固定不动,△AFG绕点A旋转,AF、AG与边BC的交点分别为

题目
如图,在同一平面内将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起,A为公共顶点,∠BAC=∠AFG=90°,它们的斜边长为2,若△ABC固定不动,△AFG绕点A旋转,AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合)作业帮
(1)求证:△ABE∽△DCA.
(2)若BD=
1
2
,求CE.
答案
(1)证明:∵∠BAE=∠BAD+45°,∠CDA=∠BAD+45°,
∴∠BAE=∠CDA(2分),
又∵∠B=∠C=45°,
∴△ABE∽△DCA(4分);
(2) ∵△ABE∽△DCA,
BE
CA
=
BA
CD

由依题意可知CA=BA=
2

BE
2
=
2
CD

2-CE
2
=
2
2-BD

2-CE
2
=
2
2-
1
2

解得CE=
2
3
(1)由图形得∠BAE=∠BAD+45°,由外角定理,得∠CDA=∠BAD+45°,可得∠BAE=∠CDA,根据∠B=∠C=45°,证明两个三角形相似;
(2)由勾股定理,得CA=BA=
2
,由(1)的相似三角形的性质,利用相似比即可求出CE.

相似三角形的判定与性质;等腰直角三角形.

本题考查了等腰直角三角形的性质,相似三角形的判定与性质.关键是通过图形的旋转,将条件“相对集中”.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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