已知,实数X,Y,Z,W满足X+Y+Z+W=X三次方+Y三次方+Z三次方+W三次方=0,求证:X,Y,Z,W这四个数中,至少有2个数的和为0

题目

已知,实数X,Y,Z,W满足X+Y+Z+W=X三次方+Y三次方+Z三次方+W三次方=0,求证:X,Y,Z,W这四个数中,至少有2个数的和为0

答案

令x+y=a,x+z=b,x+w=c, 则a+b+c=2x.@
又x^3+y^3+z^3+w^3=(a-x)^3+(b-x)^3+(c-x)^3+x^3=0
带入@则(a-b-c)^3+(b-a-c)^3+(c-a-b)^3+(a+b+c)^3=0
展开化简得到：a*b*c=0,所以x+y,x+z,x+w中至少有一个为零.证毕.