设所有可表示为两整数的平方差的整数组成的集合为M.证明属于M的两个整数之积属于M.

题目

设所有可表示为两整数的平方差的整数组成的集合为M.证明属于M的两个整数之积属于M.

答案

证明：
M={X|X=a^2-b^2,a,b属于整数}
从M里面随便选两个数,这两个数为 c^2-d^2 和 e^2-f^2
作乘积
（c^2-d^2）*(e^2-f^2) = （c+d)(c-d)(e+f)(e-f)
=（c+d)(e+f)(c-d)(e-f)
=(ce+cf+de+df)(ce+df-cf-de) 将ce+df作为一个整数m,将de+df作为一个整数n,很明显m,n都属于整数.
上式就可以化为：
=（m+n)(m-n)
这就证明M的元素的的积还属于M