若双曲线x2-y2=1右支上一点A(a,b)到直线y=x的距离为2,则a+b=_.

若双曲线x2-y2=1右支上一点A(a,b)到直线y=x的距离为2,则a+b=_.

题目
若双曲线x2-y2=1右支上一点A(a,b)到直线y=x的距离为
2
,则a+b=______.
答案
∵P(a,b)点在双曲线上,
∴有a2-b2=1,即(a+b)(a-b)=1.
∵A(a,b)到直线y=x的距离为
2

∴d=
|a−b|
2
2

∴|a-b|=2.
又P点在右支上,则有a>b,
∴a-b=2.
∴|a+b|×2=1,a+b=
1
2

故答案为
1
2
P(a,b)点在双曲线上,则有a2-b2=1,即(a+b)(a-b)=1.根据点到直线的距离公式能够求出a-b的值,从而得到a+b的值.

双曲线的简单性质.

本题以点到直线的距离为载体,考查双曲线的性质,关键是利用点到直线的距离,解题时要注意公式的灵活运用.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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