在直角三角形ABC中,AB⊥AC,AD⊥BC交BC于D,DE⊥AC交AC于E,DF⊥AB交AB于F.求证:AD^3=BC*BF*CE.

题目

在直角三角形ABC中,AB⊥AC,AD⊥BC交BC于D,DE⊥AC交AC于E,DF⊥AB交AB于F.求证:AD^3=BC*BF*CE.

答案

证明 因为AB⊥AC,AD⊥BC,DE⊥AC,DF⊥AB.
所以由相似比得:
AD*BC=AC*AB,
AD^2=BD*CD,
BD^2=AB*BF,
CD^2=AC*CE,
故 AD^4=BD^2*CD^2=AB*BF* AC*CE=BC*AD*BF*CE
从而得:AD^3= BC*BF*CE.证毕.