若函数f(x)=tanx+4π3在点P(π3， 3+4π3)处的切线为l，直线l分别交x轴、y轴于点A、B，O为坐标原点，则△AOB的面积为 _ ．

题目

若函数f(x)=tanx+

4π

3

在点P(

π

3

，  

3

+

4π

3

)处的切线为l，直线l分别交x轴、y轴于点A、B，O为坐标原点，则△AOB的面积为 ___ ．

答案

∵f(x)=tanx+

4π

3

∴f′(x)=

1

cos2x

则f′(

π

3

)=

1

cos2 π 3

=4
即切线的斜率为4，切线方程为y-（

3

+

4π

3

）=4（x-

π

3

）即y=4x+

3

令x=0，解得y=

3

，令y=0，解得x=-

3

4

∴△AOB的面积为

1

2

×

3

4

×

3

=

3

8

故答案为：

3

8

先求导函数，从而求出在x=

π

3

处切线的斜率，求出切线方程，从而求出A、B的坐标，最后根据直角三角形的面积公式解之即可．

本题考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及三角形的面积的公式，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．