f(x)=clnx+1/2x^2+bx（c不等于0） ,x=1时是极值点,f(x)=0恰有两解,求c的范围

题目

f(x)=clnx+1/2x^2+bx（c不等于0） ,x=1时是极值点,f(x)=0恰有两解,求c的范围

答案

）①若c＜0,则f（x）在（0,1）上递减,在（1,+∞）上递增,若f（x）=0恰有两解,则f（1）＜0,
∴1 2 +b＜0,∴-1 2 ＜c＜0
②若0＜c＜1,则f极大（x）=f（c）=clnc+1 2 c2+bc,f极小（x）=f（1）=1 2 +b
∵b=-1-c,∴f极大（x）=f（c）=clnc+1 2 c2+c(-1-c)＜0,f极小（x）=f（1）=-1 2 -c,从而f（x）=0只有一解；
③若c＞1,则f极小（x）=f（c）=clnc+1 2 c2+c(-1-c)＜0,f极大（x）=f（1）=-1 2 -c,从而f（x）=0只有一解；
综上,可知f（x）=0恰有两解时,实数c的取值范围为-1 2 ＜c＜0