已知函数gx=x/(lnx),fx=gx-ax 若函数fx在（1,正无穷）上为减函数,求a的最小值

题目

已知函数gx=x/(lnx),fx=gx-ax 若函数fx在（1,正无穷）上为减函数,求a的最小值

答案

g’(x)=(lnx-1)/(lnx)^2
f’(x)=g’(x)-a
因为函数f(x)在（1,+∞）上为减函数,
故当x>1时,f’(x)≤0恒成立,即g’(x)≤a恒成立,
令h(x)= g’(x)
由h(x) ≤h max(x) ≤a,
因此,h(x)在（1,+∞）上的最大值就是a的最小值.下面全力以赴求hmax(x).
我们再用导数法,对h(x)求导,实质上对g’(x)求导,即对g(x)第二次求导.
h’(x)=[1/x)(2-lnx)]/(lnx)^3
令h’(x)=0,由x>1,得lnx=2,x=e².
当10;当x> e²,h’(x)