证明：当x->0时,函数1/xsin(1/x)是无界函数,而不是无穷大

题目

证明：当x->0时,函数1/xsin(1/x)是无界函数,而不是无穷大

答案

首先证明无界.
对任意的M>0,总存在k,满足 2kπ+π/2>M,取x0=1/(2kπ+π/2),
则|f(x0)|=|（2kπ+π/2）sin[1/)|2kπ+π/2）]|=2kπ+π/2>M,所以无界.
下面证明不是无穷大.
存在M=1,对任意的δ>0,总存在k,满足1/2kπ