已知x、y、z是整数,且xy+yz+xz=0,a、b、c是不等于1的正数,且满足a^x=b^y=c^z求证：abc=1

题目

已知x、y、z是整数,且xy+yz+xz=0,a、b、c是不等于1的正数,且满足a^x=b^y=c^z求证：abc=1

答案

设：a^x=b^y=c^z=t,a=x次根号(t)=t的x分之1次方,b=y次根号下(t)=t的y分之1次方,c=z次根号下(t)=t的z分之1次方,则：abc=t的[(1/x)＋(1/y)＋(1/z)]次方=t的[(xy＋yz＋zx)/(xyz)]次方=t的0次方=1
或者：
设a^x=b^y=c^z=t,则：
a^(xyz)=t^(yz)
b^(xyz)=t^(zx)
c^(xyz)=t^(xy)
三个式子相乘,得：
(abc)^(xyz)=t^(yz＋zx＋xy)=z^0=1
则：abc=1