设二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a,b,c∈R,a≠0)满足条件如下

题目

设二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a,b,c∈R,a≠0)满足条件如下
1.当x∈R时,f(x-4)=f(2-x) 且f(x)≥x;
2.当x∈(0,2)时,f(x)≤((x+1)/2)^2
3.f(x)在R上的最小值为0.
求最大值m(m>1),使得存在t∈R,只要x∈[1,m],就有f(x+t)≤x

答案

条件1） f(x-4)=f(2-x)
a(x-4)^2 + b(x-4) = a(2-x)^2 + b(2-x)
a*(12-4x) = b(6-2x)
b = 2a
条件3）f(x)在R上的最小值为0.推出
a>0 且 b^2 - 4ac = 0
以 b = 2a 代入
4a^2 - 4ac = 0
a = c
综上 b = 2a = 2c > 0
f(x) = a(x^2+2x+1) = a(x+1)^2
条件1） 当x∈R时,f(x)≥x;
a(x+1)^2 ≥ x
ax^2 + (2a-1)x + a ≥ 0
因为 a>0 所以
x^2 + [(2a-1)/a] x + 1 ≥ 0
[x + (2a-1)/(2a)]^2 - [(2a-1)/(2a)]^2 + 1 ≥ 0
为保证在整个实数范围,即 即使 x+(2a-1)/(2a)=0 时,上不等式成立,必须有
- [(2a-1)/(2a)]^2 + 1 ≥ 0
[(2a-1)/(2a)]^2 ≤ 1
-1 ≤(2a-1)/(2a) ≤ 1
因为 a>0 所以
-2a ≤2a-1 ≤ 2a
a ≥ 1/4
条件2） 当x∈(0,2)时,f(x)≤((x+1)/2)^2
a(x+1)^2 ≤ [(x+1)/2]^2
a ≤ 1/4
综上所述 a = 1/4 、b=1/2、c=1/4
f(x) = (x+1)^2/4
我仔细检查了几次,怎么也找不到上面的推导有错误之处.但接下来 题目的要求 就有些奇怪了.
求最大值m(m>1),使得存在t∈R,只要x∈[1,m],就有f(x+t)≤x
首先画 f(x) = (x+1)^2/4 与 g(x)=x 的函数图象,大致为
二者在 x=1 处相切.除去切点之外,始终有 g(x) < f(x)
我认为不存在那样一个最大值m.或者说 m 最大可以到 正无穷大.
例如 对于任意一个很大很大的x值,比如设为 x0.
我们可以取 t = -x0 -1.f(x+t) = f(x0 - x0-1) = f(-1) = 0 < g(x0).
因为 t∈R,只要取一个负数的t值,只要这样足够负的t存在,总可以保证 f(x+t) < g(x) 成立,不论 m 取至多大.