求证:关于x的方程x2+mx+1=0有两个负实根的充要条件是m≥2.

求证:关于x的方程x2+mx+1=0有两个负实根的充要条件是m≥2.

题目
求证:关于x的方程x2+mx+1=0有两个负实根的充要条件是m≥2.
答案
证明:(1)充分性:∵m≥2,∴△=m2-4≥0,
方程x2+mx+1=0有实根,
设x2+mx+1=0的两根为x1,x2
由韦达定理知:x1x2=1>0,∴x1、x2同号,
又∵x1+x2=-m≤-2,
∴x1,x2同为负根.
(2)必要性:∵x2+mx+1=0的两个实根x1,x2均为负,且x1•x2=1,
∴m-2=-(x1+x2)-2=-(x1+
1
x1
)
-2
=-
x12+2x1+1
x1
=-
(x1+1)2
x1
≥0.
∴m≥2.综上(1),(2)知命题得证.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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