求证：关于x的方程x2+mx+1=0有两个负实根的充要条件是m≥2．

题目

求证：关于x的方程x²+mx+1=0有两个负实根的充要条件是m≥2．

答案

证明：（1）充分性：∵m≥2，∴△=m²-4≥0，
方程x²+mx+1=0有实根，
设x²+mx+1=0的两根为x₁，x₂，
由韦达定理知：x₁x₂=1＞0，∴x₁、x₂同号，
又∵x₁+x₂=-m≤-2，
∴x₁，x₂同为负根．
（2）必要性：∵x²+mx+1=0的两个实根x₁，x₂均为负，且x₁•x₂=1，
∴m-2=-（x₁+x₂）-2=-(x1+

1

x1

)-2
=-

x12+2x1+1

x1

=-

(x1+1)2

x1

≥0．
∴m≥2．综上（1），（2）知命题得证．