全微分方程：P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0···(1) 如果du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy,则称方程(1)为全微分方程

题目

全微分方程：P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0···(1) 如果du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy,则称方程(1)为全微分方程
为什么方程(1)为全微分方程的充分必要条件是δP/δy=δQ/δx

答案

假设du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy
则由全微分公式
有P(x,y)=δu/δx
Q(x,y)=δu/δy
然后就可以得到
δP/δy=δ(δu/δx)/δy=δ^2 u/δxδy
δQ/δx=δ(δu/δy)/δx=δ^2 u/δxδy=δP/δy
即证