已知圆X2+Y2=5 椭圆:2x2+3y2=6,过圆上任意一点P做椭圆的两条切线,若其斜率都存在,求其斜率之积是定值

已知圆X2+Y2=5 椭圆:2x2+3y2=6,过圆上任意一点P做椭圆的两条切线,若其斜率都存在,求其斜率之积是定值

题目
已知圆X2+Y2=5 椭圆:2x2+3y2=6,过圆上任意一点P做椭圆的两条切线,若其斜率都存在,求其斜率之积是定值
答案
设圆上任意点为P(m,n),则有 m^2+n^2=5
设过P点的直线斜率为k,则有 y=k(x-m)+n
代入椭圆得 2x^2+3[k(x-m)+n]^2=6,
整理得
(2+3k^2)x^2-6k(km-n)x+3[(km-n)^2-2]=0
过椭圆外一点可做两条椭圆的切线,设其斜率分别为k1,k2
则当k取定值时,直线与椭圆只有一个交点
即有 △=[6k(km-n)]^2-4*3(2+3k^2)[(km-n)^2-2]=0
整理化简可得 (m^2-3)k^2-2mnk+n^2-2=0
那么,k1,k2即为上述方程的两个解
∴由韦达定理有 k1k2=(n^2-2)/(m^2-3)
由m^2+n^2=5经适当变形可得n^2-2=3-m^2=-(m^2-3)
即有 (n^2-2)/(m^2-3)=-1
∴有 k1k2=-1,即两切线斜率乘积为-1
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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