设椭圆c的中心在原点,焦点在y轴上,离心率为根号2/2.其中一个顶点的坐标是（1.0）

题目

设椭圆c的中心在原点,焦点在y轴上,离心率为根号2/2.其中一个顶点的坐标是（1.0）
1.求椭圆c的标准方程、
2.若斜率为2的直线l过椭圆c在y轴正半轴上的焦点,且与该椭圆交于AB两点,求|AB|

答案

1、离心率e=c/a=√2/2 a=√2c
一个顶点是(1,0),所以b=1
a²-c²=b² a=√2c得到c=b=1 a= a=√2
标准方程是 y²/2+x²=1
2、直线l经过上交点(0,1),斜率为2,直线方程为y=2x+1
联立方程：6x²+4x-1=0
设A(x1,y1) B(x2,y2)
由韦达定理：x1+x2=-2/3 x1x2=-1/6
|AB|²=(x1-x2)²+(y1-y2)²=(1+2²)(x1-x2)²=5[(x1+x2)²-4x1x2]=5(4/9+2/3)=50/9
则|AB|=5√2/3