求定积分 ∫（x^3+1)√(4-x^2)dx 积分上限为2 下限为-2

题目

求定积分 ∫（x^3+1)√(4-x^2)dx 积分上限为2 下限为-2

答案

原式=∫(-2,2)x³√(4-x²)dx+∫(-2,2)√(4-x²)dx
第一个显然被积函数是奇函数
积分限关于原点对称
所以等于0
第二个
y=√(4-x²)
x²+y²=4
因为y≥0
所以是x轴上方的
r=2
而积分限是(-2,2)
所以正好是半圆,r=2
所以原式=πr²/2=2π