正方体ABCD-A1B1C1D1中,F为棱BC的中点,求直线DF与平面A1B1CD所成角的正弦值

题目

正方体ABCD-A1B1C1D1中,F为棱BC的中点,求直线DF与平面A1B1CD所成角的正弦值

答案

取D（0,0,0）为坐标原点,设正方体边长=2,
A（2,0,0）,B（2,2,0）C（0,2,0）
A1（2,0,2）B1（2,2,2）C1（0,2,2）D1（0,0,2）
F（1,2,0）
向量DF=（1,2,0）-（0,0,2）=（1,2,-2）,
∵CD=2,CF=1,∴DF=√5
由DD1=2,∴|D1F|=3
向量DA1=（2,0,2）-（0,0,0）=（2,0,2）
|A1D|=2√2.
向量DF·向量DA1=1×2+2×0-2×2=-2
cos（向量DF·向量DA1）=（-2）/3×2√2=-√2/6
所以sin（向量DF·向量DA1）=√34/6.