请问,线代中,副对角行列式计算公式中的系数（-1）^([n*（n-1）]/2)是如何计算出的?

题目

请问,线代中,副对角行列式计算公式中的系数（-1）^([n*（n-1）]/2)是如何计算出的?
麻烦用代数余子式的方法帮我证明一下好吗?

答案

这个用代数余子式证明有点大材小用,且更显麻烦
用行列式的定义可直接得出.
此项 a1na2(n-1)...an1 的符号由列标的逆序数确定
t(n(n-1)...21) = (n-1)+(n-2)+...+1 = n(n-1)/2
所以 副对角行列式 = (-1)^[n(n-1)/2] a1na2(n-1)...an1