如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AD垂直于过点C的切线，垂足为D． （1）求证：AC平分∠BAD； （2）若AC=25，CD=2，求⊙O的直径．

题目

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AD垂直于过点C的切线，垂足为D．

（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）若AC=2

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，CD=2，求⊙O的直径．

答案

（1）证明：如图，连接OC，∵DC切⊙O于C，∴OC⊥CF，∴∠ADC=∠OCF=90°，∴AD∥OC，∴∠DAC=∠OCA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠DAC=∠OAC，即AC平分∠BAD．（2）连接BC．∵AB是直径，∴∠ACB=90°=∠ADC，∵∠DAC...

（1）连接OC，根据切线的性质判断出AD∥OC，得到∠DAC=∠OCA，再根据OA=OC得到∠OAC=∠OCA，可得AC平分∠BAD．
（2）连接BC，得到△ADC∽△ACB，根据相似三角形的性质即可求出AB的长．

本题考点：切线的性质；角平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查了切线的性质、角平分线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，是一道综合性较强的题目，作出相应辅助线是解题的关键．